Решения заданий второго заочного этапа олимпиады "Ломоносов"

Решения задач заочного этапа олимпиад "Ломоносов"

• Информация про олимпиаду
• Статья про подготовку к олимпиаде
• Олимпиады, ЕГЭ и ДВИ
• Конфа для обсуждений
• Другая конфа репетиторов для обсуждений

Решения заданий заочного этапа олимпиад СПбГУ и "Ломоносов"

1. Найдите сумму первых 870 натуральных чисел, не делящихся на 12.
   Ответ дайте в виде целого числа.
2. Какую часть площади квадрата занимает вписанный в него круг?
   Ответ дайте в процентах, округлив его до целых.
   Ответ дайте в виде целого числа.
3. Найдите наименьшее 13-значное натуральное число, делящееся на 36 и содержащее в своей записи каждую из 10 цифр не менее одного раза.
   Ответ дайте в виде целого числа.
4. Синус двугранного угла при боковом ребре правильной четырёхугольной пирамиды равен 4√2/9.
   Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если площадь её диагонального сечения равна 8.
   Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых.
   Целую и дробную части разделяйте точкой.
5. При каком наибольшем aa неравенство (∛tgx−∛сtgx)/(∛sinx+∛cosx))>a/2 выполнено при всех допустимых x∈(3π/2;2π)?
   Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых.
   Целую и дробную части разделяйте точкой.
6. За отчётный период в городе строили только кирпичные, монолитные и панельные жилые дома.
   Если бы кирпичных домов построили в 4 раза больше, панельных — в 4 раза меньше, а монолитных не строили вовсе, то всего было бы построено на 57 домов меньше.
   Если бы монолитных домов построили в 4 раза больше, панельных — в 4 раза меньше, а кирпичных не строили вовсе, то общее число построенных домов было бы на 41 меньше.
   Наконец, если бы панельных домов построили на четверть меньше, то даже трёхкратное увеличение числа кирпичных и монолитных домов не позволило бы достичь такого же результата по суммарному количеству.
   Сколько всего домов построили в городе за отчётный период?
   Ответ дайте в виде целого числа.
   

7. Пусть S(n) — сумма цифр в десятичной записи числа n.
   Найдите S(S(S(S(2018^2017)))).
   Ответ дайте в виде целого числа.
8. Пусть f(x)=x^2+px+q.
   Известно, что неравенство |f(x)|>1/2 не имеет решений на отрезке [4;6].
   Найдите f(f(f(2017((9−√19)/2))).
   Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых.
   Целую и дробную части разделяйте точкой.
   
9. В треугольнике KLM проведена медиана KP, точка O — центр описанной около него окружности, точка Q — центр вписанной в него окружности.
   Отрезки KP и OQ пересекаются в точке S, при этом OS/PS=√6QS/KS.
   Найдите произведение косинусов величин углов KLM и KML, если известно, что ∠LKM=π/3.
   Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых.
   Целую и дробную части разделяйте точкой.
10. Решите в натуральных числах уравнение y^(x+y)=x^(x−y).
    В ответе укажите разность x−y для решения (x,y), в котором x — наименьшее, превосходящее 2000.
    Ответ дайте в виде целого числа.
    

Олимпиада ФизТех Решения заданий заочного тура